分数次数インピーダンスを近似する方法

分数次数インピーダンス

このセクションでは、分数次数インピーダンスを近似する方法を説明します。これにより、コントローラの誤差アンプの周波数特性を定義できます。

ゲインZ_Fが正で、分数次数αが0～1の間にあるインピーダンスZ(s) = Z_Fs^-αは、図4に示す無限RCラダーで近似できます^[9][10]。

• 図4 分数次数インピーダンスを近似する無限RCラダー

無限RCラダーのインピーダンスは参考文献[9]で説明されています。

ここで、Z_k(s)はk番目の系列に相当するRC回路のインピーダンスです。抵抗R_kと静電容量C_kは、徐々に減少する個別の幾何系列を形成します^[9][10]。

無限RCラダーの動作を図5で説明します。共通の比であるq_Rとq_Cが同一(q_R = q_C = q)と仮定します。k番目の系列に相当するRC回路のカットオフ周波数は(1/q^k)²に比例し、この周波数におけるRC回路のインピーダンスは1/q^kに比例します^[9]。その結果、無限RCラダーのインピーダンスZ_frac(s)の大きさは、勾配の平均値の半分、つまり–10dB/decに従います。

• 図5 無限RCラダーを使用して分数次数インピーダンスを近似する方法の説明

インピーダンスZ_frac(s)の周波数特性のうち位相は、近似するインピーダンスZ_Fs^-αの位相φ_frac,meanの周辺で、Δφ_fracの大きさのリップルで発振します。同様なことが振幅にも当てはまります。共通の比であるq_Rとq_Cを選択する際に、1に近い値を使用するとリップルを低減できます。比q_C/q_Rは、近似しようとするインピーダンスの次数αを設定します。

参考文献[9]の図5に示すように、特定の周波数に近いカットオフ周波数を持つ系列のRC回路のみが、この周波数での分数次数の挙動に寄与します。

無限RCラダーを実際に実現することはできませんが、以下の3つのセクションに分割することは可能です。中間セクションは、対象となる周波数帯における分数次数インピーダンスを近似するのに対し、左と右の各セクションは、RCラダーを「終端」します。これにより、無限RCラダーは、図6に示すように、両端を終端した有限RCラダーに縮小することができます。

• 図6 分数次数インピーダンスを近似する、両端を終端した有限RCラダー

左側のセクションは、左端の終端抵抗RLで近似しており、1つの幾何系列を評価する方法で求めることができます^[9](左側のセクションは、対象の周波数で主に抵抗性の挙動を示すことを想定)。

同様に、右側のセクションは、主に容量性の挙動を示すことを想定しており、右側の終端静電容量で近似します。

終端抵抗と終端静電容量を除外して考えると、両端を終端したRCラダーが、許容可能な分数次数の挙動を示す周波数帯は狭くなります^[9]。「終端」という用語は、伝送ラインの終端に似た比喩的表現です(伝送ラインの周波数応答を安定させることが目的)。両端を終端した有限RCラダーは、図7の特性(b)が示す周波数特性を達成します。

• 図7 図示した複数のRCラダーのインピーダンスZ_{frac(s)の比較図。(a)–無限、(b)–両端を終端、(c)–左端を終端}

ここでは、両端を終端した有限RCラダーの代わりに、図8に示す左側を終端した有限RCラダーを使用します。右側の終端静電容量C_Rの役割は、LDOの寄生極によって満たされ、レギュレーション・ループで追加の位相マージンを確保できます。寄生極が存在しない場合、左側を終端したRCラダーは図7に示す周波数特性(c)を達成します。

• 図8 分数次数インピーダンスを近似する、左端を終端した有限RCラダー

参考文献[9]のセクション5は、RCラダーが、個別の(マッチングしていない)素子による変動の影響をあまり受けないことを示しています。複数の変動が同時に発生する場合(プロセス拡散)でも、インピーダンスのスケール化のみ発生し、次数αに影響を及ぼしません。

(次回は10月19日の掲載予定です)

参考文献

[9] VALSA, J., DVORAK, P., FRIEDL, M. Network Model of the CPE. Radioengineering, 2011, vol. 20, no. 3, p. 619–626. ISSN 1805-9600.
[10] PETRŽELA, J. Phase Shifters Using Passive Realizations of Fractal Capacitors (Posouvač fáze založené na využití pasivních realizací fraktálních kapacitorů). Slaboproudý obzor, 2014, no. 2, p. 6–12. ISSN 2336-5773.