【クーラーを入れてほしいときのアブナイ英語】→Would you put on the Cooler?
【こんな風に聞こえるかも】→冷却装置をオンにしてください。
【ネイティブが使う英語】→Would you put on the air conditioning?

クーラーは、ワインクーラーやクーラーボックスなどをさす単語となりますので、air conditionerまたはair conditioningと表現したほうが伝わりやすいでしょう。ちなみにair conditionerまたはair conditioningは、暖房が含まれていない機器をさすようです。

※更新は水曜、金曜、日曜で午前9:00と午後6:00の1日2回です。