写真アプリで管理している写真にタグ(ハッシュタグ)を設定できるかというご質問ですが、残念ながら答えはノーです。写真ライブラリで保管している写真には、短い説明文「キャプション」を設定できるものの、インスタグラムにおけるハッシュタグのような、キーワードで特定のテーマに絞り込む機能はありません。
写真アプリのキャプション機能は、全体が連続した説明文です。文字数に制限はなく、「#」などの記号も使用できますが、タップに反応するタグ機能はないため写真の絞り込みには利用できません。
ただし、設定したキャプションは写真アプリの検索用データベースに反映されます。キャプションに含まれる単語、たとえば商品名や個人名は検索用キーワードとして認識されるため、あとから特定の写真を探すという用途には役立ちます。
たとえば、インスタグラムで投稿するときのような感覚で写真に「#千倉 #海 #釣り」というキャプションを設定したとします。写真アプリの検索用データベースには、「#千倉 #海 #釣り」という連続したキーワードで登録されますが、そこに含まれる「千倉」や「釣り」という単語でも写真を検索することが可能です。検索精度を高めるための、位置情報や機械学習では心もとないときの補助役キーワードとして、キャプションは有用です。
ところで、iOS 15以降のメモアプリには、インスタグラムのようなハッシュタグ機能が装備されています。そこに着目すれば、メモに添付した写真を目当てにハッシュタグを使うということは可能ですが、写真アプリの検索機能を使うほうがスマートですよ。