キャリア通話の発着信ができるのに、データ通信はできないのですね? 原因はいくつか考えられますが、おそらく「モバイルデータ通信が無効化」されているか、「APN設定が未了」のどちらかでしょう。
モバイルデータ通信が無効化されていると、インターネットに接続できません。キャリア通話とSMSは利用できるため最低限のコミュニケーションは可能ですが、メールやSNS、WEB、アプリのデータダウンロード、ストリーミングなど、iPhoneで日常的に使う機能/サービスの大半が利用できなくなります。
iPhoneのモバイルデータ通信は、『設定』→「モバイル通信」画面にある「モバイルデータ通信」スイッチ、またはコントロールセンターの「モバイルデータ通信」ボタンでオン/オフできます。後者のボタンは誤って触れてしまうことがあるうえ、機内モード時にもあわせてオンにされるため、設定を見直してみましょう。
ご質問に「SIMを変えた」とあることから、APN設定が未了の可能性も考えられます。APN設定とは、携帯電話網とインターネットをつなぐための中継点であり、一種の設定情報です。APN設定を完了しないとSIMカードを提供する通信会社のサービスに接続できないため、電話はできるのにデータ通信ができない、インターネットにつながらないという現象が発生します。
いわゆる大手キャリアはシステムにAPN設定情報が含まれているため、SIMカードを挿入するだけでデータ通信できるようになりますが、"格安SIM"などと呼ばれるその他の通信会社(MVNO)の場合、APN設定は手動で行わなければなりません。
なお、iPhoneの場合、APN設定はMVNO各社のWEBサイトから「構成プロファイル」をインストールすることで行います。WEBサイトにアクセスするということはインターネットに接続可能な状態、つまりWi-Fiなどモバイル回線以外のデータ通信経路が必要です。APN設定を忘れたまま外出したのでネットにつながらない、という場合にはまずWi-Fiにつなげましょう。